h1 style=”color:#1a73e8;”>Résumé de cours 1 – Dérivabilité d’une fonction
Plan du chapitre 2 : Dérivabilité d’une fonction
➢ Cours détaillé
➢ Résumé de cours
➢ Série d’exercices
➢ Correction détaillée des exercices
Dérivées des fonctions usuelles
On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ une constante.
1) $f(x) = k$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}$ ; $f'(x) = 0$.
2) $f(x) = kx$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}$ ; $f'(x) = k$.
3) $f(x) = x^n$ avec $n in mathbb{N}^*$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}$ ; $f'(x) = n x^{n-1}$.
4) $f(x) = dfrac{1}{x}$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}^* = ]-infty,0[ cup ]0,+infty[$ ; $f'(x) = -dfrac{1}{x^2}$.
5) $f(x) = sqrt{x}$ ; $D_f = mathbb{R}_+ = [0,+infty[$ ; $D_{f’} = ]0,+infty[$ ; $f'(x) = dfrac{1}{2sqrt{x}}$.
6) $f = u + v$ ; $D_f = D_{f’} = I$ ; $f’ = u’ + v’$.
7) $f = k u$ ; $D_f = D_{f’} = I$ ; $f’ = k u’$.
8) $f = u cdot v$ ; $D_f = D_{f’} = I$ ; $f’ = u’v + uv’$.
9) $f = dfrac{u}{v}$ avec $v neq 0$ ; $D_f = D_{f’} = I$ ; $f’ = dfrac{u’v – uv’}{v^2}$.
10) $f = dfrac{1}{v}$ avec $v neq 0$ ; $f’ = -dfrac{v’}{v^2}$.
11) $f(x) = sqrt{u}$ avec $u > 0$ ; $f'(x) = dfrac{u’}{2sqrt{u}}$.
12) $f(x) = sqrt[n]{u}$ avec $u > 0$ ; $f'(x) = dfrac{u’}{nbigl(sqrt[n]{u}bigr)^{,n-1}}$.
13) $f(x) = u^n$ avec $n in mathbb{N}^*$ ; $D_f = D_{f’} = I$ ; $f'(x) = n u’ u^{n-1}$.
14) $f(x) = sin x$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}$ ; $f'(x) = cos x$.
15) $f(x) = cos x$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}$ ; $f'(x) = -sin x$.
16) $f(x) = tan x$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R} setminus left{dfrac{pi}{2} + kpi ; ; ; k in mathbb{Z}right}$ ; $f'(x) = 1 + tan^2 x$.
17) $f(x) = sin(ax + b)$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}$ ; $f'(x) = a cos(ax + b)$.
18) $f(x) = cos(ax + b)$ ; $D_f = D_{f’} = mathbb{R}$ ; $f'(x) = -a sin(ax + b)$.
Dérivabilité d’une fonction en un point
Soit $f$ une fonction définie au voisinage d’un réel $a$ et $ell in mathbb{R}$.
Si
$$lim_{x to a} dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} = ell,$$
alors la fonction $f$ est dérivable en $a$ et on note $f'(a) = ell$.
Si
$$lim_{x to a^+} dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} = ell,$$
alors $f$ est dérivable à droite de $a$ et on note $f_d'(a) = ell$.
Si
$$lim_{x to a^-} dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} = ell,$$
alors $f$ est dérivable à gauche de $a$ et on note $f_g'(a) = ell$.
Si $f_d'(a) = f_g'(a)$ alors la fonction $f$ est dérivable en $a$.
Interprétation géométrique
1) Si $f$ est dérivable en $a$, alors la courbe $(C_f)$ admet au point $A(a ; f(a))$ une tangente d’équation :
$$y = f'(a),(x – a) + f(a).$$
2) Si $f$ est dérivable à droite de $a$, alors $(C_f)$ admet au point $A(a ; f(a))$ une demi-tangente d’équation :
$$y = f_d'(a),(x – a) + f(a), quad text{avec } x > a.$$
3) Si $f$ est dérivable à gauche de $a$, alors $(C_f)$ admet au point $A(a ; f(a))$ une demi-tangente d’équation :
$$y = f_g'(a),(x – a) + f(a), quad text{avec } x < a.$$
4) Cas où $f$ n’est pas dérivable en $a$ : la courbe $(C_f)$ admet en $A(a ; f(a))$ une demi-tangente verticale si les limites suivantes existent et sont infinies :
- Si $$lim_{x to a^+} dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} = +infty,$$ alors $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
- Si $$lim_{x to a^+} dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} = -infty,$$ alors $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.
- Si $$lim_{x to a^-} dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} = +infty,$$ alors $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
- Si $$lim_{x to a^-} dfrac{f(x) – f(a)}{x – a} = -infty,$$ alors $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.
Si la fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors elle est continue sur $I$.
Dérivabilité de la fonction réciproque
Soit $f$ une fonction dérivable en un point $a$ tel que $f'(a) neq 0$ et $b = f(a)$.
Si la fonction réciproque $f^{-1}$ est définie au voisinage de $b$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et :
$$(f^{-1})'(b) = dfrac{1}{f'(a)}.$$