Étudier les suites : nature, variations, bornes et limites
Seize méthodes organisées pour reconnaître rapidement la situation, appliquer la bonne procédure et rédiger une conclusion rigoureuse.
1. Reconnaître la nature d’une suite
Reconnaître une suite constante
Quand l’utiliser ? Quand l’énoncé demande de montrer que tous les termes ont la même valeur.
Rappel. Une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ est constante s’il existe $k\in\mathbb R$ tel que $u_n=k$ pour tout $n\geq n_0$.
Procédure. Montrer que $u_{n+1}=u_n$, ou que $u_{n+1}-u_n=0$.
Exemple guidé. Soit $u_0=4$ et $u_{n+1}=u_n$. Chaque terme est égal au précédent : $u_n=4$ pour tout $n\in\mathbb N$. La suite est constante.
Reconnaître une suite arithmétique
Quand l’utiliser ? Quand la différence entre deux termes consécutifs peut être constante.
Rappel. Une suite est arithmétique lorsque $u_{n+1}-u_n=r$, où $r$ ne dépend pas de $n$. Alors $u_n=u_{n_0}+(n-n_0)r$.
Procédure. Calculer $u_{n+1}-u_n$, simplifier et vérifier que le résultat est constant.
Exemple guidé. Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+4$. On a $u_{n+1}-u_n=4$. La suite est arithmétique de raison $4$ et $u_n=1+4n$.
Reconnaître une suite géométrique
Quand l’utiliser ? Quand un quotient ou un changement de variable fait apparaître une raison constante.
Rappel. Une suite est géométrique lorsque $u_{n+1}=q\,u_n$. Alors $u_n=u_{n_0}q^{n-n_0}$.
Procédure. Si $u_n\neq0$, calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Pour une récurrence affine, rechercher son point fixe.
Exemple guidé. Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3$. Le point fixe vérifie $\ell=\dfrac12\ell+3$, donc $\ell=6$. Posons $v_n=u_n-6$. Alors $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\dfrac12(u_n-6)=\dfrac12v_n.$ Ainsi $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$. Comme $v_0=-4$, $u_n=6-4\left(\dfrac12\right)^n.$
2. Étudier la monotonie
Pour une suite $(u_n)_{n\geq n_0}$ :
– Croissante $Leftrightarrow \forall n\geq n_0; u_{n+1} \geq u_n.$
– Décroissante $Leftrightarrow \forall n\geq n_0; u_{n+1} \leq u_n.$
– Strictement croissante $Leftrightarrow \forall n\geq n_0; u_{n+1} > u_n.$
– Strictement décroissante $Leftrightarrow \forall n\geq n_0; u_{n+1} < u_n.$
Étudier le signe de $u_{n+1} – u_n$
Quand l’utiliser ? Quand la différence $u_{n+1}-u_n$ se signe facilement.
Idée
On calcule $u_{n+1} – u_n$ puis on regarde son signe :
- Si $u_{n+1} – u_n \geq 0$ pour tout $n$, la suite est croissante.
- Si $u_{n+1} – u_n \leq 0$ pour tout $n$, elle est décroissante.
Soit la suite $(u_n)$ définie par : $$u_{n+1} = 4u_n – 3;\forall n\in\mathbb{N},$$ et on sait que, pour tout $n$, $u_n \geq 1$.
On calcule : $$u_{n+1} – u_n = (4u_n – 3) – u_n = 3u_n – 3 = 3(u_n – 1).$$ Comme $u_n \geq 1$, alors $u_n – 1 \geq 0$, donc : $$u_{n+1} – u_n \geq 0.$$ La suite est donc croissante.
Étudier le quotient d’une suite positive
Quand l’utiliser ? Quand tous les termes sont strictement positifs et que le quotient se simplifie.
Cadre. Vérifier d’abord que $u_n>0$. Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq1$, la suite est croissante ; si ce quotient est inférieur ou égal à $1$, elle est décroissante.
Exemple guidé. Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{2n+1}{2n+2}u_n.$ Les termes sont positifs et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1-\dfrac{1}{2n+2}<1.$ La suite est strictement décroissante.
Utiliser une fonction quand $u_n=f(n)$
Quand l’utiliser ? Quand le terme général s’écrit $u_n=f(n)$.
Si $f$ est croissante sur $[n_0,+\infty[$, alors $(f(n))$ est croissante ; si $f$ est décroissante, la suite est décroissante.
Exemple guidé. Pour $u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$, posons $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$. Sur $[0,+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}>0.$ Donc $(u_n)$ est croissante.
Démontrer la monotonie par récurrence
Quand l’utiliser ? Quand une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ permet de transmettre une inégalité.
Poser $P(n):u_{n+1}\geq u_n$ pour une croissance, ou $P(n):u_{n+1}\leq u_n$ pour une décroissance.
Exemple guidé. Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$. La fonction $f(x)=\sqrt{2x+3}$ est croissante et $u_1=\sqrt5\geq u_0$. Si $u_{n+1}\geq u_n$, alors $u_{n+2}=f(u_{n+1})\geq f(u_n)=u_{n+1}.$ Par récurrence, la suite est croissante.
3. Prouver qu’une suite est majorée, minorée ou bornée
– Majorée : $$\exists M\in\mathbb{R}; \forall n\geq n_0; u_n \leq M.$$ – Minorée : $$\exists m\in\mathbb{R}; \forall n\geq n_0; u_n \geq m.$$ – Bornée : $$\exists M > 0; \forall n\geq n_0; |u_n|\leq M.$$
Obtenir un encadrement direct
Quand l’utiliser ? Quand le terme général permet des inégalités immédiates.
On part de l’expression de $u_n$ et on utilise des inégalités simples.
Exemple guidé. Pour $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ et $n\geq0$, on obtient $0\leq u_n<1.$
Étudier l’écart à une borne
Quand l’utiliser ? Quand une borne probable $A$ apparaît et que $u_n-A$ se simplifie.
Pour prouver $u_n\leq A$, étudier $u_n-A$ ; pour prouver $u_n\geq B$, étudier $u_n-B$.
Exemple guidé. Pour $u_n=\dfrac{2n+1}{n+1}$, $u_n-2=-\dfrac1{n+1}<0.$ Donc $u_n<2$.
Conserver un encadrement par récurrence
Quand l’utiliser ? Quand une suite définie par récurrence doit rester dans un intervalle.
Formuler la propriété, vérifier le premier rang, puis transmettre l’encadrement à $u_{n+1}$.
Exemple guidé. Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{2}$. Si $0\leq u_n\leq2$, alors $1\leq\dfrac{u_n+2}{2}\leq2.$ Donc $0\leq u_{n+1}\leq2$. Par récurrence, $0\leq u_n\leq2$ pour tout $n$.
4. Calculer une limite
Suite polynomiale
Quand l’utiliser ? Quand $u_n$ est un polynôme en $n$.
Si : $$u_n = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + cdots + a_0,\quad a_k \neq 0,$$ alors le terme dominant est $a_k n^k$ :
- si $a_k > 0$, alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$,
- si $a_k < 0$, alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = -\infty$.
Quotients de polynômes
Quand l’utiliser ? Quand $u_n$ est un quotient de polynômes.
Pour : $$u_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)},$$ on factorise par le plus haut degré au numérateur et au dénominateur, on simplifie, puis on passe à la limite.
$$u_n = \dfrac{5n^3 – 2n + 1}{2n^3 + 4}.$$ On factorise par $n^3$ : $$u_n = \dfrac{n^3left(5 – \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{1}{n^3}\right)}{n^3left(2 + \dfrac{4}{n^3}\right)} = \dfrac{5 – \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{1}{n^3}}{2 + \dfrac{4}{n^3}}.$$ Quand $n\to +\infty$, les $\dfrac{1}{n^k}\to 0$, donc : $$lim_{n\to +\infty} u_n = \dfrac{5}{2}.$$
Décomposition (type $\dfrac{an + b}{n}$)
Quand l’utiliser ? Quand une fraction affine se sépare en une constante et un terme qui tend vers zéro.
Si : $$u_n = \dfrac{an + b}{n},$$ on écrit : $$u_n = a + \dfrac{b}{n}.$$ Comme $\dfrac{1}{n}\to 0$, on a : $$lim_{n\to +\infty} u_n = a.$$
Conjugué (cas des racines)
Quand l’utiliser ? Quand deux racines se soustraient et créent une forme indéterminée.
Pour une expression du type : $$u_n = A_n – B_n,$$ avec $A_n,B_n \to +\infty$, on multiplie par le conjugué $A_n + B_n$.
$$u_n = \sqrt{n+4} – \sqrt{n}.$$ On utilise le conjugué : $$u_n = \dfrac{\left(\sqrt{n+4} – \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+4} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+4) – n}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = \dfrac{4}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}}.$$ Le dénominateur va vers $+\infty$, donc : $$lim_{n\to +\infty} u_n = 0.$$
Théorème des gendarmes
Quand l’utiliser ? Quand la suite est prise entre deux suites de même limite.
Si : $$a_n \leq u_n \leq b_n,$$ et : $$lim_{n\to +\infty} a_n = lim_{n\to +\infty} b_n = L,$$ alors : $$lim_{n\to +\infty} u_n = L.$$
$$u_n = \dfrac{\sin n}{n}.$$ On sait que $-1 \leq \sin n \leq 1$, donc : $$-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}.$$ Comme $\dfrac{1}{n}\to 0$, on a : $$lim_{n\to +\infty} u_n = 0.$$
Comparaison
Quand l’utiliser ? Quand une inégalité avec une suite de référence suffit à conclure.
On compare $u_n$ avec une suite simple dont on connaît la limite.
$$u_n = n^2 + n.$$ On a : $$u_n \geq n^2.$$ Or $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2 = +\infty$, donc $u_n \to +\infty$ par comparaison.