La suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = n^2$ a pour limite $+\infty$. En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l’on souhaite à partir d’un certain rang.
Si on prend un réel $a$ quelconque, l’intervalle $]a ; +\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On dit que la suite $(u_n)$ admet pour limite $+\infty$ si tout intervalle $]A ; +\infty[$, $A \in \mathbb{R}$, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, et on note :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty.$$

On dit que la suite $(u_n)$ admet pour limite $-\infty$ si tout intervalle $]-\infty ; B[$, $B \in \mathbb{R}$, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, et on note :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty.$$

Cela équivaut à :

$$\lim_{n \to +\infty} (-u_n) = +\infty.$$

La suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = 1 + \dfrac{1}{n^2}$ a pour limite $1$.
En effet, les termes de la suite se rapprochent de $1$ à partir d’un certain rang.
Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant $1$, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle à partir d’un certain rang.

On dit que la suite $(u_n)$ admet pour limite $L \in \mathbb{R}$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, et on note :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = L.$$

Une telle suite est dite convergente.

Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

Une suite divergente n’admet pas nécessairement de limite infinie.
Par exemple, la suite de terme général $(-1)^n$ prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$. Elle n’admet donc ni limite finie, ni limite infinie. Elle est donc divergente.

$$\lim_{n \to +\infty} n = +\infty,\quad \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty,\quad \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty,\quad \lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty,\quad p \in \mathbb{N}^*.$$

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0,\quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0,\quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0,\quad \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^p} = 0,\quad p \in \mathbb{N}^*.$$

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$.
Si, à partir d’un certain rang, on a $u_n \leq v_n$ et

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty,$$

alors

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty.$$

Déterminer la limite de la suite

$$u_n = n^2 + (-1)^n.$$

On a $(-1)^n \geq -1$, donc

$$n^2 + (-1)^n \geq n^2 – 1.$$

Or

$$\lim_{n \to +\infty} (n^2 – 1) = +\infty.$$

D’après le théorème de comparaison, on en déduit :

$$\lim_{n \to +\infty} \left(n^2 + (-1)^n\right) = +\infty.$$

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies sur $\mathbb{N}$. Si, à partir d’un certain rang, on a $u_n \geq v_n$ et

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty,$$

alors

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty.$$

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites définies sur $\mathbb{N}$. Si, à partir d’un certain rang, on a

$$u_n \leq v_n \leq w_n$$

et

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = L,$$

alors

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = L.$$

Déterminer la limite de la suite

$$u_n = \dfrac{\sin n}{n}.$$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on sait que :

$$-1 \leq \sin n \leq 1.$$

En divisant par $n > 0$, on obtient :

$$-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}.$$

Or

$$\lim_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0.$$

D’après le théorème des gendarmes, on en déduit :

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0.$$

1) Soit $a$ un réel strictement positif. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ (1 + a)^n \geq 1 + n a.$$

(Inégalité de Bernoulli)

2) En déduire que si $q$ est un réel tel que $q > 1$, alors

$$\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty.$$

(On pose $q = 1 + a$ avec $a > 0$.)

3) Montrer que si $-1 < q < 1$, alors

$$\lim_{n \to +\infty} q^n = 0.$$

Soit $q \in \mathbb{R}$. Alors :

si $q \leq -1$ : la suite $(q^n)$ n’a pas de limite ;
si $-1 < q < 1$ : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ ;
si $q = 1$ : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 1$ ;
si $q > 1$ : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.

Soit $(u_n)$ une suite réelle.
• $(u_n)$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ :

$$u_n \leq M.$$

• $(u_n)$ est minorée s’il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ :

$$u_n \geq m.$$

• $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

• Les suites de terme général $\cos n$ ou $(-1)^n$ sont bornées car elles sont minorées par $-1$ et majorées par $1$.
• La suite de terme général $n^2$ est minorée par $0$.

Soit $(u_n)$ une suite réelle.
• Si pour tout $n$, $u_{n+1} – u_n > 0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
• Si pour tout $n$, $u_{n+1} – u_n < 0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
• Si pour tout $n$, $u_{n+1} – u_n = 0$, alors $(u_n)$ est constante.

• Si $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$u_n \geq u_0.$$

• Si $(u_n)$ est décroissante, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$u_n \leq u_0.$$

• Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente.
• Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2,\quad u_0 = 2.$$

1) Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est majorée par $3$.
2) Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.

1) Montrons par récurrence que $u_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
• Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 2 < 3$, la propriété est vraie au rang $0$.
• Hérédité : supposons que pour un entier $n$, on ait $u_n < 3$. Alors :

$$u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2 < \dfrac{1}{3}\cdot 3 + 2 = 3.$$

Ainsi $u_{n+1} < 3$. Donc, par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < 3$. La suite est donc majorée par $3$.

2) Pour la monotonie :

$$u_{n+1} – u_n = \dfrac{1}{3}u_n + 2 – u_n = \left(\dfrac{1}{3} – 1\right)u_n + 2 = -\dfrac{2}{3}u_n + 2.$$

On sait que $u_n < 3$, donc :

$$-\dfrac{2}{3}u_n + 2 > -\dfrac{2}{3}\cdot 3 + 2 = 0.$$

Ainsi $u_{n+1} – u_n > 0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3},\quad u_0 = 1.$$

1) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N})$ : $1 \leq u_n \leq 3$.
2) Montrer que $(u_n)$ est croissante.
3) Déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

1) On procède par récurrence sur l’encadrement $1 \leq u_n \leq 3$.
• Initialisation : $u_0 = 1$, donc $1 \leq u_0 \leq 3$ est vraie au rang $0$.
• Hérédité : supposons que $1 \leq u_n \leq 3$. On considère la fonction $f : [1,3] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \sqrt{2x + 3}$.
On montre que $f$ est croissante sur $[1,3]$ (sa dérivée est positive). On a :

$$f(1) = \sqrt{5} > 1,\quad f(3) = \sqrt{9} = 3.$$

Donc pour $1 \leq u_n \leq 3$ :

$$1 < \sqrt{5} \leq f(u_n) \leq f(3) = 3,$$

c’est-à-dire :

$$1 \leq u_{n+1} \leq 3.$$

L’encadrement est donc vrai pour tout $n$ par récurrence.

2) Pour la monotonie, on étudie le signe de $u_{n+1} – u_n$ :

$$u_{n+1} – u_n = \sqrt{2u_n + 3} – u_n.$$

On met au même dénominateur en multipliant par la quantité conjuguée :

$$u_{n+1} – u_n = \dfrac{2u_n + 3 – u_n^2}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n} = \dfrac{-(u_n – 1)(u_n – 3)}{\sqrt{2u_n + 3} + u_n}.$$

Or, d’après le 1), $1 \leq u_n \leq 3$, donc :
$u_n – 1 \geq 0$, $u_n – 3 \leq 0$ et $\sqrt{2u_n + 3} + u_n > 0$.
Donc le numérateur $-(u_n – 1)(u_n – 3) \geq 0$, ce qui implique :

$$u_{n+1} – u_n \geq 0.$$

La suite $(u_n)$ est donc croissante.

3) La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc elle est convergente.
Soit $\ell$ sa limite. En passant à la limite dans la relation de récurrence :

$$\ell = \sqrt{2\ell + 3}.$$

On obtient

$$\ell^2 = 2\ell + 3 \quad \Longleftrightarrow \quad \ell^2 – 2\ell – 3 = 0,$$

d’où

$$\ell = 3 \quad \text{ou} \quad \ell = -1.$$

Comme $u_n \geq 1$ pour tout $n$, on retient $\ell = 3$. Donc :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 3.$$

Soit $k \in \mathbb{N}$ avec $k \geq 2$.
1) Montrer que :

$$\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k(k-1)}.$$

2) Vérifier que :

$$\dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k}.$$

3) Soit $(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par :

$$U_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}.$$

a) Montrer que la suite $(U_n)$ est croissante.
b) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

$$U_n \leq 2 – \dfrac{1}{n}.$$

c) En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente.

1) Comme $k \geq 2$, on a $k – 1 \leq k$, donc

$$k(k-1) \leq k^2,$$

et par passage à l’inverse (quantités strictement positives),

$$\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k(k-1)}.$$

2) On a :

$$\dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k} = \dfrac{k – (k-1)}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k(k-1)}.$$

3)
a) On constate que :

$$U_{n+1} – U_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} > 0,$$

donc $(U_n)$ est croissante.

b) Pour $k = 2,3,\dots,n$, on a d’après 1) et 2) :

$$\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k}.$$

En sommant de $k = 2$ à $k = n$, on obtient :

$$\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} \leq \left(1 – \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n-1} – \dfrac{1}{n}\right).$$

Le second membre est une somme télescopique :

$$1 – \dfrac{1}{n}.$$

Donc :

$$\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} \leq 1 – \dfrac{1}{n}.$$

En ajoutant $1$ de chaque côté, on obtient :

$$U_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} \leq 2 – \dfrac{1}{n}.$$

c) On en déduit que $(U_n)$ est croissante et majorée par $2$ (car $2 – \dfrac{1}{n} \leq 2$). Donc $(U_n)$ est convergente.

On considère une suite $(U_n)$ et une fonction $f$. Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on définit :

$$V_n = f(U_n).$$

Si $f$ est continue en un réel $\ell$ et si

$$\lim_{n \to +\infty} U_n = \ell,$$

alors :

$$\lim_{n \to +\infty} V_n = f(\ell).$$

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(U_n)$ une suite définie par :

$$(\forall n \in \mathbb{N})\quad U_{n+1} = f(U_n),\quad U_0 \in I.$$

Si :
• $f$ est continue sur $I$ ;
• $f(I) \subset I$ ;
• la suite $(U_n)$ est convergente,
alors la limite $L$ de $(U_n)$ vérifie l’équation :

$$f(L) = L.$$

Autrement dit, $L$ est un point fixe de la fonction $f$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ et $(u_n)$ la suite définie par :

$$u_{n+1} = f(u_n),\quad u_0 \in I.$$

1) Montrer que $(u_n)$ est bornée et monotone (croissante ou décroissante).
2) En déduire que $(u_n)$ est convergente.
3) Déterminer sa limite à l’aide de l’équation $f(x) = x$.

• On montre d’abord, le plus souvent par récurrence, que pour tout $n$, $u_n$ reste dans un certain intervalle $[a,b] \subset I$, ce qui prouve que la suite est bornée.
• On étudie ensuite le signe de $u_{n+1} – u_n$ pour établir que la suite est croissante ou décroissante.
• Une suite à la fois monotone et bornée est convergente. On note $\ell$ sa limite et on passe à la limite dans la relation de récurrence :

$$\ell = f(\ell),$$

ce qui permet de déterminer la valeur de $\ell$ en résolvant l’équation $f(x) = x$.

On considère la suite $(V_n)$ définie par :

$$\forall n \in \mathbb{N},\quad V_n = f(U_n).$$

Si la fonction $f$ est continue en $\ell$ et si

$$\lim_{n \to +\infty} U_n = \ell,$$

alors :

$$\lim_{n \to +\infty} V_n = f(\ell).$$

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(U_n)$ une suite définie par :

$$\forall n \in \mathbb{N},\quad U_{n+1} = f(U_n),\quad U_0 \in I.$$

Si :

$f$ est continue sur l’intervalle $I$ ;
$f(I) \subset I$ ;
la suite $(U_n)$ est convergente,

alors la limite $L$ de la suite $(U_n)$ est solution de l’équation :

$$f(x) = x.$$