Chapitre 3 : Étude des fonctions

La droite d’équation $x = a$ est une asymptote verticale de la courbe $(C_f)$ si, et seulement si :
$$lim_{x to a^-} f(x) = pminfty quad text{ou} quad lim_{x to a^+} f(x) = pminfty.$$

La droite d’équation $y = b$ est une asymptote horizontale de $(C_f)$ si, et seulement si :
$$lim_{x to +infty} f(x) = b quad text{ou} quad lim_{x to -infty} f(x) = b.$$

Soient $a in mathbb{R}^*$ et $b in mathbb{R}$.
La droite d’équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique de la courbe $(C_f)$ au voisinage de $pminfty$ si, et seulement si :

$$lim_{x to pminfty} bigl(f(x) – (ax + b)bigr) = 0.$$

Soit la fonction $f$ définie sur $mathbb{R} setminus {1}$ par :
$$f(x) = dfrac{2x}{x – 1}.$$
On note $(C_f)$ sa courbe représentative.

1) Déterminer $D_f$.
2) Calculer les limites :
$$lim_{x to -infty} f(x) quad text{et} quad lim_{x to +infty} f(x)$$
puis interpréter géométriquement.
3) Calculer $displaystyle lim_{x to 1^-} f(x)$ et $displaystyle lim_{x to 1^+} f(x)$ puis interpréter géométriquement.

1) Domaine de définition :

$x in D_f iff x – 1 neq 0 iff x neq 1.$
Donc $D_f = ]-infty, 1[ cup ]1, +infty[$.

2) Branches infinies à l’infini :
$$lim_{x to -infty} f(x) = lim_{x to -infty} dfrac{2x}{x-1}
= lim_{x to -infty} dfrac{2}{1 – dfrac{1}{x}}
= 2.$$
De même,
$$lim_{x to +infty} f(x) = 2.$$
La droite d’équation $y = 2$ est donc une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $-infty$ et de $+infty$.

3) Comportement près de $x = 1$ :
$$lim_{x to 1^-} f(x) = lim_{x to 1^-} dfrac{2x}{x – 1} = -infty,$$
$$lim_{x to 1^+} f(x) = lim_{x to 1^+} dfrac{2x}{x – 1} = +infty.$$
La droite d’équation $x = 1$ est donc une asymptote verticale à $(C_f)$.

• Si
$$lim_{x to pminfty} f(x) = pminfty quad text{et} quad lim_{x to pminfty} dfrac{f(x)}{x} = pminfty,$$
alors la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées, au voisinage de $pminfty$.

Soit $f$ définie sur $mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 – 3x^2 + 2$.

$$lim_{x to +infty} f(x)
= lim_{x to +infty} (2x^3 – 3x^2 + 2) = +infty,$$
$$lim_{x to +infty} dfrac{f(x)}{x}
= lim_{x to +infty} (2x^2 – 3x + tfrac{2}{x}) = +infty.$$
Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées au voisinage de $+infty$.
Un raisonnement analogue montre l’existence d’une branche parabolique au voisinage de $-infty$.

1) Déterminer $D_f$ puis étudier la nature des branches infinies de la courbe $(C_f)$ dans chaque cas :
a) $f(x) = 2x^3 – 3x^2 + 2$
b) $f(x) = dfrac{3 – 2x^2}{(1 + x)^2}$
c) $f(x) = 2x – sqrt{x}$.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• La courbe $(C_f)$ est convexe sur $I$ si, et seulement si :
$$forall x in I,quad f”(x) ge 0.$$
• La courbe $(C_f)$ est concave sur $I$ si, et seulement si :
$$forall x in I,quad f”(x) le 0.$$

Un point $A(a; f(a))$ de la courbe $(C_f)$ est appelé point d’inflexion si, au voisinage de $a$, la courbe $(C_f)$ passe d’un côté de sa tangente à l’autre (la concavité change).

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
Si $f”(a) = 0$ et si $f”$ change de signe en $a$, alors le point $A(a; f(a))$ est un point d’inflexion de $(C_f)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^3 + x^2.$$

$f$ est deux fois dérivable sur $mathbb{R}$ et :
$$f'(x) = 3x^2 + 2x,quad f”(x) = 6x + 2.$$
$$f”(x) = 0 iff 6x + 2 = 0 iff x = -dfrac{1}{3}.$$

Tableau de signes de $f”$ :

• Pour $x < -dfrac{1}{3}$, $f”(x) < 0$ : $(C_f)$ est concave.
• Pour $x > -dfrac{1}{3}$, $f”(x) > 0$ : $(C_f)$ est convexe.

Le point
$$Aleft(-dfrac{1}{3},;, f!left(-dfrac{1}{3}right)right)$$
est donc un point d’inflexion de $(C_f)$.

Pour que la droite $(D)$ d’équation $x = a$ soit un axe de symétrie de la courbe $(C_f)$, il faut et il suffit que :
$$forall x in D_f,quad (2a – x) in D_f quad text{et} quad f(2a – x) = f(x).$$

Soit la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = sqrt{x^2 + 6x + 5}.$$

1) Déterminer $D_f$.
2) Montrer que la droite $(D)$ d’équation $x = -3$ est un axe de symétrie de la courbe $(C_f)$.
3) En déduire le domaine d’étude $D_E$ de $f$.

On vérifie que :
$$D_f = ]-infty, -5] cup [-1, +infty[.$$
Pour tout $x in D_f$, on a :
$$f(-6 – x) = f(x).$$
Or la droite d’équation $x = -3$ est la médiatrice des points $x$ et $-6 – x$, donc c’est un axe de symétrie de $(C_f)$.

On peut réduire l’étude de $f$ au domaine :
$$D_E = D_f cap [-3, +infty[ = ]-3, -1] cup [-3, +infty[.$$

Pour que le point $Omega(a, b)$ soit un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$, il faut et il suffit que :
$$forall x in D_f,quad (2a – x) in D_f quad text{et} quad f(2a – x) + f(x) = 2b.$$

Soit la fonction $f$ définie sur $mathbb{R} setminus {-2}$ par :
$$f(x) = dfrac{3x – 1}{x + 2}.$$

1) Déterminer $D_f$.
2) Montrer que le point $Omega(-2, 3)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.
3) En déduire le domaine d’étude $D_E$ de $f$.

On a :
$$x in D_f iff x ne -2,quad D_f = mathbb{R} setminus {-2}.$$
Pour tout $x in D_f$ :
$$f(-4 – x)
= dfrac{3(-4 – x) – 1}{-4 – x + 2}
= dfrac{-3x – 13}{-x – 2}
= 6 – f(x).$$
Ainsi :
$$f(-4 – x) + f(x) = 6 = 2 times 3.$$
Le point $Omega(-2, 3)$ est donc un centre de symétrie de $(C_f)$.

Le domaine d’étude est :
$$D_E = D_f cap [-2, +infty[ = ]-2, +infty[.$$

Soit $f$ la fonction définie sur $mathbb{R}$ par :
$$f(x) = 2x^3 – 3x^2 + 2.$$
1) Étudier les branches infinies de $(C_f)$.
2) Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
3) Étudier la convexité de $(C_f)$, en précisant les points d’inflexion s’il en existe.
4) Montrer que le point
$$Aleft(dfrac{1}{2},;,dfrac{3}{2}right)$$
est le centre de symétrie de $(C_f)$.
5) Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $alpha in ]-1, 0[$ et interpréter géométriquement.
6) Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.

On considère une fonction $f$ continue, strictement monotone et bijective d’un intervalle $I$ vers un intervalle $J$.
On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque.

1) Rappeler la relation entre les graphes de $f$ et de $f^{-1}$.
2) Construire $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ dans un même repère orthonormé.
3) Interpréter graphiquement la relation $f(f^{-1}(x)) = x$.