Méthode : Calcul de limites
Dans de nombreux calculs de limites, l’application des théorèmes généraux (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient) ne permet pas de conclure directement. On dit alors qu’on est en présence d’une « forme indéterminée ».
Dans la plupart des cas, il est possible, en modifiant l’écriture de l’expression dont on cherche la limite, de se retrouver dans une situation où l’on peut conclure en appliquant les théorèmes connus : on dit alors que l’on a levé l’indétermination.
Les formes indéterminées au programme sont au nombre de quatre :
- une pour la somme, symbolisée par $+infty – infty$ ;
- une pour le produit, symbolisée par $0 times infty$ ;
- deux pour le quotient, symbolisées par $dfrac{0}{0}$ et $dfrac{infty}{infty}$.
Dans un calcul de limite, il est indispensable, avant de chercher à modifier une écriture, de s’assurer que les théorèmes généraux ne permettent pas de conclure directement.
Pour tous les exemples qui suivent, on supposera cette étape franchie.
A) Forme indéterminée symbolisée par $+infty – infty$
Méthode générale : factoriser le terme prépondérant pour faire apparaître des formes de limite connue.
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 1. ] Dans une fonction polynôme, le terme prépondérant au voisinage de l’infini est le terme de plus haut degré.
Pour $x > 0$ : [ f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 1 = 2x^3left(1 – dfrac{5}{2x} + dfrac{1}{2x^3}right). ] En modifiant l’écriture de $f(x)$, on a fait apparaître des formes de limites connues. On peut maintenant conclure à l’aide des théorèmes généraux : [ lim_{xto+infty} dfrac{5}{2x} = 0 quad text{et} quad lim_{xto+infty} dfrac{1}{2x^3} = 0, ] donc [ lim_{xto+infty} left(1 – dfrac{5}{2x} + dfrac{1}{2x^3}right) = 1. ] De plus, [ lim_{xto+infty} 2x^3 = +infty. ] Alors [ lim_{xto+infty} f(x) = +infty. ]
D’une manière générale, on démontre que la limite en $+infty$ ou $-infty$ d’une fonction polynôme est la même que celle de son terme de plus haut degré.
Ainsi : [ lim_{xto+infty} big(2x^3 – 5x^2 + 1big) = lim_{xto+infty} 2x^3 = +infty. ]
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = x – sqrt{x}. ] Pour $x > 0$ : [ f(x) = x – sqrt{x} = xleft(1 – dfrac{1}{sqrt{x}}right), ] car pour $x > 0$, on a $sqrt{x} = x^{frac{1}{2}}$.
On sait que : [ lim_{xto+infty} dfrac{1}{sqrt{x}} = 0 quad Rightarrow quad lim_{xto+infty} left(1 – dfrac{1}{sqrt{x}}right) = 1. ] Comme [ lim_{xto+infty} x = +infty, ] on en déduit : [ lim_{xto+infty} f(x) = +infty. ]
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = 2x^2 + 1 – sqrt{x}. ] Pour $x > 0$ : [ 4x^2 + 1 = 4x^2left(1 + dfrac{1}{4x^2}right), ] donc [ f(x) = 2x^2 + 1 – sqrt{x} = 2x^2left(1 + dfrac{1}{2x^2} – dfrac{sqrt{x}}{2x^2}right) = 2x^2left(1 + dfrac{1}{2x^2} – dfrac{1}{2sqrt{x}}right). ] On a : [ lim_{xto+infty} dfrac{1}{2x^2} = 0 quad text{et} quad lim_{xto+infty} dfrac{1}{2sqrt{x}} = 0, ] donc [ lim_{xto+infty} left(1 + dfrac{1}{2x^2} – dfrac{1}{2sqrt{x}}right) = 1. ] Comme $lim_{xto+infty} 2x^2 = +infty$, on conclut : [ lim_{xto+infty} f(x) = +infty. ]
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = sqrt{x^2 + 1} – x. ] Une factorisation identique à celle de l’exercice précédent ne permet pas de conclure. En effet, pour $x > 0$ : [ f(x) = sqrt{x^2 + 1} – x = xleft(sqrt{1 + dfrac{1}{x^2}} – 1right), ] et l’application directe des théorèmes ramène à une autre forme indéterminée de type $0 times infty$.
Voici une technique très utilisée pour modifier l’écriture d’une fonction irrationnelle : on multiplie et on divise par l’expression conjuguée.
On multiplie et on divise $f(x)$ par $sqrt{x^2 + 1} + x$ : [ f(x) = dfrac{big(sqrt{x^2 + 1} – xbig)big(sqrt{x^2 + 1} + xbig)}{sqrt{x^2 + 1} + x} = dfrac{x^2 + 1 – x^2}{sqrt{x^2 + 1} + x} = dfrac{1}{sqrt{x^2 + 1} + x}. ] Alors [ lim_{xto+infty} big(sqrt{x^2 + 1} + xbig) = +infty quad Rightarrow quad lim_{xto+infty} f(x) = 0. ]
B) Forme indéterminée symbolisée par $0 times infty$
Méthode générale : développer ou transformer l’expression pour faire apparaître des formes de limite connue.
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = left(1 + dfrac{1}{x}right)x. ] Pour $x > 0$, on développe : [ f(x) = left(1 + dfrac{1}{x}right)x = x + 1. ] Or [ lim_{xto+infty} x = +infty, ] donc [ lim_{xto+infty} f(x) = +infty. ]
Limite en $0^+$ de $f$ définie par : [ f(x) = x lnleft(dfrac{1}{x}right). ] Pour $x > 0$ : [ f(x) = x lnleft(dfrac{1}{x}right) = -x ln x. ] Or [ lim_{xto 0^+} xln x = 0, ] donc [ lim_{xto 0^+} f(x) = 0. ]
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = big(x^2 + xbig)e^{-x}. ] Pour tout réel $x$ : [ f(x) = x^2 e^{-x} + x e^{-x}. ] On sait que pour tout réel $alpha > 0$ : [ lim_{xto+infty} x^alpha e^{-x} = 0. ] Donc [ lim_{xto+infty} x e^{-x} = 0 quad text{et} quad lim_{xto+infty} x^2 e^{-x} = 0. ] On en déduit : [ lim_{xto+infty} f(x) = 0. ]
Limite en $-infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = e^{-x} lnbig(1 + e^xbig). ] Pour tout réel $x$ : [ f(x) = dfrac{lnbig(1 + e^xbig)}{e^x}. ] Posons $Y = e^x$. Alors lorsque $x to -infty$, on a $Y to 0$ et [ f(x) = dfrac{ln(1+Y)}{Y}. ] Or [ lim_{Yto 0} dfrac{ln(1+Y)}{Y} = 1. ] Donc [ lim_{xto-infty} f(x) = 1. ]
Limite en $0^+$ de $f$ définie par : [ f(x) = x^{-1}big(e^{1/x} – 1big). ] Pour $x > 0$ : [ f(x) = dfrac{e^{1/x} – 1}{x}. ] Posons $Y = dfrac{1}{x}$, alors lorsque $x to 0^+$, on a $Y to +infty$ et : [ f(x) = Ybig(e^{Y} – 1big). ] Comme [ lim_{Yto+infty} e^Y = +infty, ] on obtient [ lim_{Yto+infty} Ybig(e^{Y} – 1big) = +infty, ] donc [ lim_{xto 0^+} f(x) = +infty. ]
C) Forme indéterminée symbolisée par $dfrac{0}{0}$
Méthode générale : simplifier par le facteur qui tend vers $0$, ou bien faire apparaître des formes de limite connue.
Limite en $2$ de $f$ définie par : [ f(x) = dfrac{2x^2 + x – 6}{x – 2}. ] Pour tout réel $x$ : [ 2x^2 + x – 6 = (x – 2)(2x + 3), ] donc pour tout $x neq 2$ : [ f(x) = dfrac{(x – 2)(2x + 3)}{x – 2} = 2x + 3. ] Ainsi : [ lim_{xto 2} (2x + 3) = 2times 2 + 3 = 7, ] donc [ lim_{xto 2} f(x) = 7. ]
Limite en $1$ de $f$ définie par : [ f(x) = dfrac{sqrt{x} – 1}{x – 1}. ] Pour faire apparaître le facteur $(x – 1)$ au numérateur, on multiplie et on divise $f(x)$ par la quantité conjuguée du numérateur : [ sqrt{x} + 1. ] Pour $x > 0$ et $x neq 1$ : [ f(x) = dfrac{sqrt{x} – 1}{x – 1} = dfrac{(sqrt{x} – 1)(sqrt{x} + 1)}{(x – 1)(sqrt{x} + 1)}. ] (La suite du calcul consiste à simplifier et à conclure sur la limite en utilisant la nouvelle écriture.)
Pour $x > 0$ et $x neq 1$ : [ f(x) = dfrac{sqrt{x} – 1}{x – 1} = dfrac{(sqrt{x} – 1)(sqrt{x} + 1)}{(x – 1)(sqrt{x} + 1)} = dfrac{x – 1}{(x – 1)(sqrt{x} + 1)} = dfrac{1}{sqrt{x} + 1}. ] Donc [ lim_{x to 1} f(x) = lim_{x to 1} dfrac{1}{sqrt{x} + 1} = dfrac{1}{sqrt{1} + 1} = dfrac{1}{2}. ]
Limite en $0$ de la fonction $f$ définie par : [ f(x) = dfrac{sin x – x}{x^3}. ] On sait que, au voisinage de $0$, [ sin x = x – dfrac{x^3}{6} + text{terme négligeable devant } x^3. ] Ainsi : [ sin x – x = -dfrac{x^3}{6} + text{terme négligeable devant } x^3. ] Donc, pour $x neq 0$ : [ f(x) = dfrac{sin x – x}{x^3} = -dfrac{1}{6} + text{terme négligeable devant } 1. ] On en déduit : [ lim_{x to 0} f(x) = -dfrac{1}{6}. ]
Limite en $0$ de la fonction $f$ définie par : [ f(x) = dfrac{e^x – 1}{x}. ] On sait que : [ lim_{x to 0} dfrac{e^x – 1}{x} = 1. ] Donc [ lim_{x to 0} f(x) = 1. ] Cette limite est très importante et doit être connue par cœur.
D) Forme indéterminée symbolisée par $dfrac{infty}{infty}$
Méthode générale : dans un quotient, diviser le numérateur et le dénominateur par le terme prépondérant (au voisinage de $+infty$ ou $-infty$) afin de faire apparaître des formes de limite connue.
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = dfrac{3x^2 – 5x + 1}{2x^2 + x – 4}. ] Au voisinage de $+infty$, le terme prépondérant au numérateur est $3x^2$ et au dénominateur $2x^2$. On divise numérateur et dénominateur par $x^2$ (pour $x neq 0$) : [ f(x) = dfrac{3 – dfrac{5}{x} + dfrac{1}{x^2}}{2 + dfrac{1}{x} – dfrac{4}{x^2}}. ] Or [ lim_{xto+infty} dfrac{5}{x} = 0, quad lim_{xto+infty} dfrac{1}{x^2} = 0. ] On en déduit : [ lim_{xto+infty} f(x) = dfrac{3 – 0 + 0}{2 + 0 – 0} = dfrac{3}{2}. ]
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = dfrac{sqrt{x^2 + 3x} – x}{x}. ] Pour $x > 0$, on divise le numérateur et le dénominateur par $x$ : [ f(x) = dfrac{dfrac{sqrt{x^2 + 3x}}{x} – 1}{1} = sqrt{1 + dfrac{3}{x}} – 1. ] Comme [ lim_{xto+infty} dfrac{3}{x} = 0, ] on obtient : [ lim_{xto+infty} f(x) = sqrt{1 + 0} – 1 = 0. ]
Limite en $+infty$ de $f$ définie par : [ f(x) = dfrac{ln x}{x}. ] On sait que, au voisinage de $+infty$, la fonction $x mapsto x$ l’emporte largement sur $x mapsto ln x$, c’est-à-dire : [ lim_{xto+infty} dfrac{ln x}{x} = 0. ] Donc [ lim_{xto+infty} f(x) = 0. ]
Pour traiter les formes indéterminées :
• $+infty – infty$ : repérer le terme prépondérant et factoriser par ce terme pour faire apparaître des limites connues.
• $0 times infty$ : transformer le produit en somme ou en quotient (développement, changement de variable, utilisation des limites remarquables).
• $dfrac{0}{0}$ : simplifier par le facteur commun qui tend vers $0$ (factorisation, conjugué, etc.).
• $dfrac{infty}{infty}$ : diviser le numérateur et le dénominateur par le terme prépondérant (puissance de $x$, fonction exponentielle, etc.).
Dans tous les cas, l’objectif est de modifier l’écriture pour arriver à une combinaison de limites connues sur laquelle on applique les théorèmes généraux (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient, de la composée).